群
需掌握的前置内容：现代汉语、基础算数、基本代数符号（包括英文字母与希腊字母）、基础组合、量词（存在与任意）、集合、集合的实例（包括自然数集合、实数集等）、映射．
1、运算
二元关系
定义 $ 1.1.1 $ 设 $ X, Y $ 是两个非空集合，存在两个元素 $ x\in X,\, y\in Y $，我们将这两个元素组合而成的有序数对 $ \left(x,y\right) $ 称为一个有序对（或称有序偶）（这看作一个元素），注意这里的顺序是不能轻易改变的．$ X,Y $ 上所有 $ \left(x,y\right) $ 有序对的集合记作 $ X\times Y $，称为 $ X $ 与 $ Y $ 的笛卡尔积（注意，这是一个集合）．
定义 $ 1.1.2 $ 如果构成笛卡儿积的两个集合都为 $ X $，并在笛卡儿积 $ X\times X $ 中取一个子集 $ \omega $，那么 $ \omega $ 就称为 $ X $ 上的一个二元关系（这也是一个集合）．如果 $ \left(a,b\right) $ 在集合 $ \omega $ 中，那么称 $ a $ 与 $ b $ 符合 $ \omega $，记作 $ a\omega b $（同样地，$ a,b $ 顺序不可轻易改变）．
定义 $ 1.1.3 $ 如果 $ X $ 上一个二元关系 $ \omega $，对于 $ \forall\; x,y,z\in\omega $ 都有
$ \left(i\right) $ 反身性 $ x\omega x $；
$ \left(ii\right) $ 对称性 若 $ x\omega y $，则 $ y\omega x $；
$ \left(iii\right) $ 传递性 若 $ x\omega y,\, y\omega z $，则 $ x\omega z $．
那么称 $ \omega $ 是一种等价关系（这还是一个集合），$ x\omega y $ 也可以记作 $ x\sim y $．
代数结构
定义 $ 1.2.1 $ 如果存在一个映射，将集合 $ X\times Y $ 上的有序对 $ \left(x,y\right) $ 映射到一个集合 $ Z $ 的元素 $ z $ 上，则称这种映射为一个代数运算（这是一个映射）．一般将这个映射的符号记作 $ \circ $，代数运算定义为
$ \circ:X\times Y\rightarrow Z,\;\left(x,y\right)\mapsto z $，
其中 $ x\in X, y\in Y, z\in Z $，并且这种运算可以简记作
$ x\circ y=z $．
定义 $ 1.2.2 $ 如果这三个集合都相同，即 $ \circ $ 将 $ X\times X $ 映射到 $ X $ 上，那么称 $ \circ $ 是一个二元运算（这也是一个映射），同样可记为 $ \circ:X\times X\rightarrow X,\;\left(x,y\right)\mapsto z $，其中 $ x,y,z\in X $．
整数集上的加法二元运算 $ +:\mathbb{Z}\times\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z},\;\left(x,y\right)\mapsto x+y $ 被定义为两个元素的算数和．
这里我们严格区分“算数和”与“加法”．“算数和”是一种映射的实际例子，等同于算数中的加法；而“加法”是一个并未具体定义的映射概念，在不同的时候，会有不同的实际定义．
另外，封闭性和完备性是映射本身的性质，在这种定义体系中，不需要在运算中单独说明．
定义 $ 1.2.3 $ 一个集合 $ X $ 与该集合上的一个二元运算 $ \circ $ 的整体称为一种代数结构，记作 $ \left(X,\circ\right) $．
运算可能具有的性质
定义 $ 1.3.1 $ 称 $ \circ:X\times X\rightarrow X $ 是结合的，如果 $ X $ 中的任意元素 $ a,b,c $ 满足
$ \left(a\circ b\right)\circ c=a\circ\left(b\circ c\right) $．
这里的括号表明了运算的先后顺序．
定义 $ 1.3.2 $ 称 $ \circ:X\times X\rightarrow X $ 是交换的，如果 $ X $ 中的任意元素 $ a,b $ 满足
$ a\circ b=b\circ a $．
定义 $ 1.3.3 $ 如果 $ X $ 上有两种二元运算，称 $ \oplus:X\times X\rightarrow X $ 对 $ \circ:X\times X\rightarrow X $是分配的，如果 $ X $ 中的任意元素 $ a,b,c $ 同时满足
左分配律 $ \left(a\circ b\right)\oplus c=\left(a\oplus c\right)\circ\left(b\oplus c\right) $，
右分配律 $ c\oplus\left(a\circ b\right)=\left(c\oplus a\right)\circ\left(c\oplus b\right) $．
定义 $ 1.3.4 $ 在结合的代数结构 $ \left(X,\circ\right) $ 中（“结合的”指 $ \circ $ 是结合的），如果存在 $ e\in X $，使得 $ \forall\, x\in X $ 有 $ x\circ e=e\circ x=x $，就称 $ e $ 是 $ \left(X,\circ\right) $ 的一个单位元．
必须同时满足 $ x\circ e=x $ 和 $ e\circ x=x $ 这两者的 $ e $ 才是单位元．
另外，非结合的代数结构没有被定义单位元；即使结合的代数结构也不一定拥有单位元．例如 $ \circ:X\times X\rightarrow X $ 定义为 $ \circ:\left(x,y\right)\mapsto y $，这种代数结构就没有单位元（对于 $ \forall\, x\neq e $，恒有 $ e\circ x=x\neq e $）．
定理 $ T1.1 $ 如果一个代数结构有单位元，则单位元是唯一的．
$ T1.1 $ 证明 如果有两个单位元 $ e_{1},\,e_{2} $，那么
$$ \begin{aligned} e_{1}=e_{1}\circ e_{2}=e_{2}．\\ & \square \end{aligned} $$
定义 $ 1.3.5 $ 在一个有单位元 $ e $ 的代数结构 $ \left(X,\circ\right) $ 中，如果对于某些 $ x\in X $ 存在 $ y\in X $ 使得 $ x\circ y=y\circ x=e $，则称这些 $ x $ 是可逆的，并称 $ y $ 是 $ x $ 的一个逆元．
定理 $ T1.2 $ 如果一个代数结构的某个元素有逆元，则逆元是唯一的．
$ T1.2 $ 证明 如果 $ x $ 有两个逆元 $ y_{1},\,y_{2} $，那么
$$ \begin{aligned} y_{1}=y_{1}\circ e=y_{1}\circ\left(x\circ y_{2}\right)=\left(y_{1}\circ x\right)\circ y_{2}=e\circ y_{2}=y_{2}．\\ &\square \end{aligned} $$
2、群
基本定义
定义 $ 2.1.1 $ 设 $ G $ 为一个非空集合，如果 $ G $ 上的一个二元运算 $ \cdot $ 满足
$ \left(i\right) $ 结合律；
$ \left(ii\right) $ 在 $ G $ 上有单位元；
$ \left(iii\right) $ 对 $ G $ 的任意元素可逆．
则称代数结构 $ \left(G,\cdot\right) $ 为群，简称为群 $ G $．群的运算 $ x\cdot y $ 简记为 $ xy $．
如果满足 $ \left(i\right) $，称这个代数结构为半群；
如果满足 $ \left(i\right),\left(ii\right) $，称这个代数结构为幺半群．
定义 $ 2.1.2 $ 如果一个群是交换的，那么称这个群是交换群，或者阿贝尔群 $ \rm (N. Abel, 1802—1829) $．
定义 $ 2.1.3 $ 如果一个群的元素是有限的，称它为有限群；否则称它为无限群．有限群 $ G $ 的元素个数称为 $ G $ 的阶，记作 $ \left|G\right| $．
记号定义 $ S2.1 $ 在实数集等集合中，我们记 $ \mathbb{R}^{*}=\mathbb{R}\backslash\left\{0\right\} $，对于 $ \mathbb{Q} $，$ \mathbb{C} $，$ \mathbb{N} $ 等集合同理．
记号定义 $ S2.2 $ 在群 $ \left(G,\cdot\right) $ 中，记
$ (1)\;\underbrace{a\cdot a\cdot a\cdot\cdot\cdot a}_{n 个}=a^{n} $，其中 $ n\in\mathbb{N}^{*} $；
$ (2) $ 单位元 $ e=a^{0} $；
$ (3)\;a $ 的逆元为 $ a^{-1} $；
$ (4)\;\left(a^{-1}\right)^{n}=a^{-n} $，其中 $ n\in\mathbb{N}^{*} $．
定理 $ T2.1 $ 在群 $ \left(G,\cdot\right) $ 中，若 $ a\in G $，则对 $ \forall\, m, n\in\mathbb{Z} $，有
$ a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n} $，$ \left(a^{m}\right)^{n}=a^{m\times n} $，
其中 $ + $ 是算数和， $ \times $ 是算数积．
$ T2.1 $ 证明 分类讨论并使用结合律即可．
生成元
定义 $ 2.2.1 $ 在群 $ G $ 中如果 $ \exists\;\left\{\varepsilon_{1},\varepsilon_{2},\cdots,\varepsilon_{n}\right\}=S\subseteq G $，对于 $ \forall\;x\in G $，$ \exists\;i_{1},i_{2},\cdots,i_{n}\in\mathbb{Z} $ 使得 $ x=\varepsilon_{1}^{i_{1}}\cdot\varepsilon_{2}^{i_{2}}\cdot\cdots\cdot\varepsilon_{n}^{i_{n}} $，则称元素最少的那个 $ S $ 中所有元素是 $ G $ 的生成元，记为 $ G = \langle S\rangle $．如果 $ S $ 中元素的个数是有限的，称 $ G $ 为有限生成群，$ S $ 中元素的个数称为 $ G $ 的秩．
循环群
定义 $ 2.3.1 $ 在群 $ G $ 中如果 $ \exists\;a\in G $，对于 $ \forall\;x\in G $，$ \exists\;i\in\mathbb{Z} $ 使得 $ x=a^{i} $，则称 $ G $ 是由 $ a $ 生成的循环群，可以仿照定义 $ 2.2.1 $ 记作 $ G = \langle \left\{a\right\}\rangle $，亦可以直接记作 $ G = \langle a\rangle $．
显然，循环群是秩为 $ 1 $ 的有限生成群．
集合整数集和二元运算算数和组成的群 $ \left(\mathbb{Z},+\right) $（一般简记为整数加群）就是一个由 $ 1 $ 或者 $ -1 $ 生成的无限循环群．
定义 $ 2.3.2 $ 在群 $ G $ 中，对于其中某一元素 $ x\in G $，使得 $ x^{d}=e $ 的最小正整数 $ d $ 称为 $ x $ 的阶（注意和 $ G $ 的阶区分），并称 $ x $ 是有限阶元，记作 $ o\left(x\right)=d $；如果不存在 $ d $ 使得 $ x^{d}=e $，则称 $ x $ 是无限阶元，记作 $ o\left(x\right)=\infty $．
整数加群中仅单位元 $ 0 $ 有阶 $ o\left(0\right)=1 $，其余元素为无限阶元．
一些实例
对称群
引 $ L2.1 $ 在 $ n $ 元集合 $ X $ 上（一般用集合 $ X = \left\{ 1, 2, \ldots, n \right\} $ 表示），如果一个映射 $ \pi $，将这个集合中每一个元素 $ k $ 对应到 $ X $ 里的另一个元素 $ i_{k} $ 上，并且，这种映射是双射，则称 $ \pi $ 是 $ X $ 的一个置换（这是一种映射），记作 $ \pi=\begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n \\ i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{n} \end{pmatrix} $．
注意，这里的 $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n \\ i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{n} \end{pmatrix} $ 只要满足 $ 1 $ 对应的是 $ i_{1} $，$ 2 $ 对应 $ i_{2} $ 此类即可．$ \begin{pmatrix} 2 & 1 & \ldots & n \\ i_{2} & i_{1} & \ldots & i_{n} \end{pmatrix} $ 是和它完全相同的置换．
引 $ L2.2 $ 如果置换 $ \pi $ 形如 $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n \\ 1 & 2 & \ldots & n \end{pmatrix} $，则称 $ \pi $ 是恒等置换，记为 $ \iota $．
引 $ L2.3 $ $ n $ 元置换的全体记为 $ S_{n} $（这是一个映射的集合）．下面我们定义二元运算 $ \cdot:S_{n}\times S_{n}\rightarrow S_{n} $ 使它成为一个群．
引 $ L2.4 $ 定义二元运算 $ \cdot:S_{n}\times S_{n}\rightarrow S_{n} $．若在 $ S_{n} $ 中有两个置换 $ \sigma $ 和 $ \tau $，那么置换 $ \sigma\cdot\tau=\pi $ 是指，对 $ n $ 元集合 $ X $ 先施加 $ \tau $ 再施加 $ \sigma $，等价于对 $ X $ 直接施加 $ \pi $．这种二元运算称为复合（这是一种映射集上的二元运算．换句难懂但更本质的话说，这一种映射集上的映射）．
定理 $ T2.2 $ $ \left(S_{n}, \cdot\right) $ 是群．称为 $ n $ 元对称群，简称 $ S_{n} $．
$ T2.2 $ 证明 略证：
$ \left(1\right) $ $ S_{n} $ 可以视为以 $ S_{n} $ 上层为原像，下层为像的映射，而 $ S_{n} $ 的复合可以视为该映射的合成，映射的合成是结合的；
$ \left(2\right) $ 恒等置换是单位元．
$ \left(3\right) $ 类似 $ \left(1\right) $，显然 $ S_{n} $ 映射是双射，双射的运算是可逆的（上下层互换）．$ \square $
定理 $ T2.3 $ $ \left(S_{n}, \cdot\right) $ 是有限群，$ \left|S_{n}\right|=n! $．
$ T2.2 $ 证明 略证：
任意 $ \begin{pmatrix} k_{1} & k_{2} & \ldots & k_{n} \\ i_{k_{1}} & i_{k_{2}} & \ldots & i_{k_{n}} \end{pmatrix} $ 可以重新整理为某个 $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n \\ i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{n} \end{pmatrix} $，而 $ \begin{pmatrix} 1 & 2 & \ldots & n \\ i_{1} & i_{2} & \ldots & i_{n} \end{pmatrix} $ 中 $ i_{1},i_{2},\cdots,i_{n} $ 有 $ n! $ 种两两不同的排列．$ \square $
旋转群
模 $ n $ 剩余类群
子群
定义 $ 2.5.1 $ 设 $ \left( G, \ast \right) $ 是一个群，如果 $ G $ 的非空子集 $ H $ 对 $ \ast $ 也构成群，则称 $ H $ 是 $ G $ 的一个子群，记作 $ H \leqslant G $．
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